ഭാരതീയ ഗണിത ശാസ്ത്രം | ഗണിത ശാസ്ത്ര ഗാനവും ഗണിത ശാസ്ത്രത്തെ കുറിച്ചുള്ള വിശദമായ വിവരണവും

ഭാരതീയ ഗണിത ശാസ്ത്രം

ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് അതിപ്രാചീനമായ ഒരു ചരിത്രമുണ്ട്. ഇത് ബി.സി. 1200 മുതൽ പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനം വരെ ഇന്ത്യൻ ഉപഭൂഖണ്ഡത്തിൽ വികസിച്ചു വന്ന ഒരു വിജ്ഞാനശാഖയാണ്.

ഇതിനു ഒരു ഒറ്റ സ്ഥാപകനില്ല. വിവിധ കാലഘട്ടങ്ങളിൽ ഒട്ടനവധി ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരുടെ കൂട്ടായ സംഭാവനകളിലൂടെയാണ് ഇത് വളർന്നു വികസിച്ചത്. വേദകാലം മുതൽക്കേ ഇതിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.

🔢 പ്രധാന സംഭാവനകളും ആശയങ്ങളും

ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രം ലോകത്തിന് നൽകിയ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സംഭാവനകളിൽ ചിലത് ഇവയാണ്:

പൂജ്യത്തിന്റെ (Zero) കണ്ടുപിടിത്തം: ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും വിപ്ലവകരമായ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളിൽ ഒന്നാണിത്. ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ (7-ാം നൂറ്റാണ്ട്) പൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യയായി കണക്കാക്കുകയും അതിനായുള്ള ക്രിയകളുടെ നിയമങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കുകയും ചെയ്തു.
സ്ഥാനവില സമ്പ്രദായം (Decimal Place-Value System): ഇത് ലോകമെമ്പാടും ഇന്ന് ഉപയോഗിക്കുന്ന ദശാംശ സമ്പ്രദായമാണ്. ഈ സമ്പ്രദായം ഉപയോഗിച്ചാണ് വലിയ സംഖ്യകളെ എഴുതാനും കണക്കുകൂട്ടാനും എളുപ്പമായത്.
ബീജഗണിതം (Algebra): ആര്യഭടൻ, ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ, ഭാസ്കരാചാര്യൻ എന്നിവർ ബീജഗണിതത്തിന്റെ വികാസത്തിന് നിർണായക സംഭാവനകൾ നൽകി. രണ്ടാം കൃതി സമവാക്യങ്ങൾ (Quadratic equations) ഉൾപ്പെടെയുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ആദ്യകാല അൽഗോരിതങ്ങൾ അവർ വികസിപ്പിച്ചു.
ത്രികോണമിതി (Trigonometry): ആര്യഭടൻ സൈൻ (Sine), കൊസൈൻ (Cosine) തുടങ്ങിയ ത്രികോണമിതി ആശയങ്ങൾ അവതരിപ്പിച്ചു.
പൈയുടെ (π) മൂല്യം: ആര്യഭടൻ $\pi$ (പൈ) യുടെ മൂല്യം 3.1416 ആണെന്ന് ഏകദേശം കൃത്യമായി കണക്കാക്കി.
കളനശാസ്ത്രത്തിലെ (Calculus) ആശയങ്ങൾ: സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ സ്ഥാപിച്ച കേരള ഗണിത വിദ്യാലയം അനന്ത ശ്രേണികളുമായി (Infinite series) ബന്ധപ്പെട്ട് കലനശാസ്ത്രത്തിന് (Calculus) അടിത്തറയിടുന്ന കണ്ടുപിടിത്തങ്ങൾ നടത്തി, ഇത് ന്യൂട്ടനും ലൈബ്നിസിനും (Newton and Leibniz) നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് മുൻപായിരുന്നു.

🧠 പ്രധാനപ്പെട്ട ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ

ചില പ്രധാന ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും അവരുടെ സംഭാവനകളും:

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ	കാലഘട്ടം	പ്രധാന സംഭാവനകൾ
ആര്യഭടൻ	(ഏകദേശം ക്രി.വ. 476–550)	$\pi$ യുടെ മൂല്യം, ത്രികോണമിതി, ഭൂമി സ്വയം കറങ്ങുന്നു എന്ന ആശയം.
ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ	(ഏകദേശം ക്രി.വ. 598–668)	പൂജ്യത്തിന്റെ നിയമങ്ങൾ, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ, ചക്രീയ ചതുർഭുജങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തങ്ങൾ.
ഭാസ്കരാചാര്യൻ (ഭാസ്കരൻ II)	(ഏകദേശം ക്രി.വ. 1114–1185)	ലീലാവതി (അങ്കഗണിതം), ബീജഗണിതം (ആൾജിബ്ര) എന്നീ ഗ്രന്ഥങ്ങൾ, പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ അനന്തത ലഭിക്കുമെന്ന ആശയം.
സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ	(ഏകദേശം ക്രി.വ. 1340–1425)	കേരള ഗണിത വിദ്യാലയത്തിന്റെ സ്ഥാപകൻ, ത്രികോണമിതി ഫങ്ഷനുകളുടെ അനന്ത ശ്രേണികൾ (Infinite Series).
ശ്രീനിവാസ രാമാനുജൻ	(ക്രി.വ. 1887–1920)	സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തം (Number Theory), അനന്ത ശ്രേണികൾ, തുടർച്ചയായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ (Continued Fractions) എന്നിവയിൽ ശ്രദ്ധേയമായ സംഭാവനകൾ.

📜 പ്രതിപാദ്യ വിഷയങ്ങൾ

ഭാരതീയ ഗണിത ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ പ്രതിപാദിച്ചിരുന്ന പ്രധാന വിഷയങ്ങൾ:

അങ്കഗണിതം (Arithmetic): അടിസ്ഥാന സംഖ്യാക്രിയകളും (കൂട്ടൽ, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം, ഹരണം) ഭിന്നസംഖ്യകളും (fractions).
ജ്യാമിതി (Geometry): ക്ഷേത്രഗണിതം, അളവുകൾ, ക്ഷേത്രങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ (പ്രത്യേകിച്ച് ശുൽബസൂത്രങ്ങളിൽ -

3. ജ്യോതിശാസ്ത്രം (Astronomy): ഗ്രഹങ്ങളുടെയും നക്ഷത്രങ്ങളുടെയും സ്ഥാനങ്ങൾ, ചലനങ്ങൾ, ഗ്രഹണം പ്രവചിക്കൽ എന്നിവയ്ക്കുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കണക്കുകൾ. ഗണിതവും ജ്യോതിശാസ്ത്രവും ഒരുമിച്ചാണ് വികസിച്ചത്.

4. ബീജഗണിതം (Algebra): അജ്ഞാത സംഖ്യകൾ (unknowns) ഉപയോഗിച്ചുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം.

ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രം ലോകമെമ്പാടുമുള്ള മറ്റ് സംസ്കാരങ്ങളെ സ്വാധീനിക്കുകയും ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വളർച്ചയ്ക്ക് ഒരു പ്രധാന അടിത്തറ നൽകുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ട്.

കേരള ഗണിത വിദ്യാലയത്തെക്കുറിച്ചും അവിടെ സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ നടത്തിയ കണ്ടുപിടുത്തങ്ങളെക്കുറിച്ചും കൂടുതൽ വിശദീകരിക്കാം.

🌴 കേരള ഗണിത വിദ്യാലയം: ഒരു വിപ്ലവം

കേരള ഗണിത വിദ്യാലയം (Kerala School of Astronomy and Mathematics) 14-ാം നൂറ്റാണ്ട് മുതൽ 16-ാം നൂറ്റാണ്ട് വരെ ഇന്ത്യയിലെ കേരളത്തിൽ സജീവമായിരുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരുടെയും ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരുടെയും ഒരു കൂട്ടായ്മയായിരുന്നു. ഇത് കളനശാസ്ത്രത്തിന്റെ (Calculus) ആശയങ്ങൾക്ക് അടിത്തറയിട്ട ആദ്യത്തെ സ്ഥാപനങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്.

🌟 സ്ഥാപകൻ: സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ (c. 1340 – c. 1425)

കേരള ഗണിത വിദ്യാലയത്തിന്റെ സ്ഥാപകനും ഏറ്റവും പ്രമുഖനുമായിരുന്നു സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ. അദ്ദേഹത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങൾ യൂറോപ്പിൽ ന്യൂട്ടനും ലൈബ്നിസും (Newton and Leibniz) കളനശാസ്ത്രം വികസിപ്പിക്കുന്നതിന് ഏതാണ്ട് 250 വർഷം മുൻപായിരുന്നു.

💡 മാധവന്റെ പ്രധാന സംഭാവനകൾ

മാധവന്റെ പ്രധാന സംഭാവനകൾ അനന്ത ശ്രേണികളുമായി (Infinite Series) ബന്ധപ്പെട്ടാണ്. അനന്തമായ സംഖ്യകളുടെ തുകയെടുത്ത് കൃത്യമായ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കുന്ന രീതിയാണിത്.

1. $\pi$ (പൈ) യുടെ ശ്രേണി (The Madhava-Leibniz Series)

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവും വ്യാസവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സൂചിപ്പിക്കുന്ന $\pi$ യുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ മാധവൻ ഉപയോഗിച്ച അനന്ത ശ്രേണി വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ടതാണ്. ഈ ശ്രേണി യൂറോപ്പിൽ പിന്നീട് ലൈബ്നിസ് കണ്ടുപിടിച്ചതിനോട് സമാനമാണ്:

$$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots $$മാധവൻ ഈ ശ്രേണി ഉപയോഗിച്ച് $\pi$ യുടെ മൂല്യം **10 ദശാംശസ്ഥാനം** വരെ കൃത്യമായി (3.1415926535) കണക്കാക്കിയിരുന്നു. #### 2\. സൈൻ, കൊസൈൻ ശ്രേണികൾ (Taylor Series for Sine and Cosine) ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങളായ (Trigonometric functions) സൈൻ (Sine), കൊസൈൻ (Cosine) എന്നിവയുടെ മൂല്യം കണക്കാക്കാനുള്ള ശ്രേണികൾ മാധവൻ ആവിഷ്കരിച്ചു. ഇന്ന് നമ്മൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന **ടെയ്ലർ ശ്രേണിക്ക് (Taylor Series)** സമാനമായ കണ്ടെത്തലുകളായിരുന്നു ഇവ. * സൈൻ ($\sin x$) ശ്രേണി:$$

$$\\sin x = x - \\frac{x^3}{3\!} + \\frac{x^5}{5\!} - \\frac{x^7}{7\!} + \\dots
$$
$$

കൊസൈൻ ( $\cos x$ ) ശ്രേണി:
$\\ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2\!} + \frac{x^4}{4\!} - \frac{x^6}{6\!} + \dots$
$$$$
$$ഈ ശ്രേണികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഗ്രഹങ്ങളുടെ ചലനം കൃത്യമായി പ്രവചിക്കാൻ മാധവനും അദ്ദേഹത്തിന്റെ ശിഷ്യന്മാർക്കും സാധിച്ചു.

👨‍🎓 കേരള ഗണിത വിദ്യാലയത്തിലെ മറ്റ് പ്രമുഖർ

പരമേശ്വരൻ (c. 1370–1460): മാധവന്റെ ശിഷ്യൻ, ദൃഗ്ഗണിതം എന്ന പുതിയ ഗണിത രീതി അവതരിപ്പിച്ചു.
നീലകണ്ഠ സോമയാജി (c. 1444–1544): ആര്യഭടീയഭാഷ്യം എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിലൂടെ മാധവന്റെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളെ ലോകത്തിന് പരിചയപ്പെടുത്തി.
ജ്യേഷ്ഠദേവൻ (c. 1500–1575): കളനശാസ്ത്രപരമായ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളെല്ലാം വിശദമായി എഴുതിയ യുക്തിഭാഷ എന്ന ഗ്രന്ഥം രചിച്ചു. ഇത് മലയാളത്തിലെഴുതിയ ആദ്യത്തെ സമ്പൂർണ്ണ കളനശാസ്ത്ര ഗ്രന്ഥമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

കേരള ഗണിത വിദ്യാലയത്തെപ്പറ്റിയുള്ള വിവരങ്ങൾ

📜 യുക്തിഭാഷയും കളനശാസ്ത്ര അടിത്തറയും

കേരള ഗണിത വിദ്യാലയത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങൾ ലോകത്തിനു മുന്നിൽ അവതരിപ്പിച്ചതിൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഗ്രന്ഥമാണ് യുക്തിഭാഷ (Yukti Bhāṣā).

📚 യുക്തിഭാഷ (ജ്യേഷ്ഠദേവൻ)

ജ്യേഷ്ഠദേവൻ (ഏകദേശം 1500–1575) രചിച്ച ഈ ഗ്രന്ഥം മലയാള ഭാഷയിലാണ് എഴുതപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്.

ഉള്ളടക്കം: യുക്തിഭാഷയിൽ സംഗമഗ്രാമ മാധവന്റെയും നീലകണ്ഠ സോമയാജിയുടെയും കണ്ടുപിടിത്തങ്ങൾ വിശദീകരിക്കുകയും, അവയുടെ തെളിവുകൾ (proofs) നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു.
പ്രാധാന്യം: ലോകചരിത്രത്തിൽ ഒരുപക്ഷേ ആദ്യമായി, കളനശാസ്ത്രത്തിന് (Calculus) സമാനമായ ആശയങ്ങളെക്കുറിച്ച് തെളിവുകൾ സഹിതം ഒരു ഗ്രന്ഥത്തിൽ വിശദീകരിച്ചത് യുക്തിഭാഷയിലാണ്. ഇതിൽ, അനന്തശ്രേണികളുടെ (Infinite series) തെളിവുകൾ നൽകാൻ അവർ ഉപയോഗിച്ച രീതികളെ 'ഇന്റഗ്രേഷൻ' (Integration) അല്ലെങ്കിൽ സമാകലനം എന്ന ആധുനിക ആശയത്തോട് താരതമ്യം ചെയ്യാം.

🔬 ഇന്റഗ്രേഷന്റെ ആദ്യകാല രൂപം

ഒരു വക്രത്തിന്റെ (curve) അടിയിലുള്ള വിസ്തീർണ്ണം (Area under the curve) കണ്ടുപിടിക്കുന്നതാണ് ഇന്റഗ്രേഷന്റെ ഒരു പ്രധാന ഉപയോഗം. കേരളത്തിലെ ഗണിതജ്ഞർ ഈ ആശയം ഉപയോഗിച്ചതിന് തെളിവുകളുണ്ട്.

അവർ ഒരു വലിയ രൂപത്തെ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വൃത്തം) അനന്തമായ എണ്ണം (Infinite number) വളരെ ചെറിയ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ച്, ഓരോ ഭാഗത്തിന്റെയും തുക കണ്ടുപിടിച്ച്, ആകെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തി.
വളരെ കൃത്യമായ മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നതിന് വേണ്ടി, അവർ പരിധി (limit) എന്ന ആധുനിക കളനശാസ്ത്രത്തിലെ ആശയം ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു.

\sum_{n=1}^{\infty} (\text{ചെറിയ ഭാഗം}) = \text{ആകെ വിസ്തീർണ്ണം}

🌍 എങ്ങനെ അറിവ് പുറത്തെത്തി?

കേരള ഗണിത വിദ്യാലയത്തിലെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങൾ യൂറോപ്പിലേക്ക് എങ്ങനെ എത്തി എന്നത് ഒരു ചർച്ചാവിഷയമാണ്.

ജെസ്യൂട്ട് മിഷണറിമാർ: 16-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ കേരളത്തിൽ സജീവമായിരുന്ന പോർച്ചുഗീസ് ജെസ്യൂട്ട് മിഷണറിമാർക്ക് ഈ ഗണിത ഗ്രന്ഥങ്ങളെക്കുറിച്ച് അറിവുണ്ടായിരുന്നു.
വ്യാപാര ബന്ധങ്ങൾ: മലബാർ തീരവുമായുള്ള ശക്തമായ വ്യാപാര ബന്ധങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ആശയങ്ങൾ കൈമാറ്റം ചെയ്യാൻ സാധ്യത നൽകി.
ഇതുവരെ, മാധവന്റെ കൃതികൾ യൂറോപ്പിലെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരുടെ കൈകളിൽ നേരിട്ട് എത്തിയതിന് തെളിവുകളില്ല. എന്നാൽ, ഈ ആശയങ്ങൾ ന്യൂട്ടൺ, ലൈബ്നിസ് എന്നിവർക്ക് മുൻപ് തന്നെ ഇന്ത്യയിൽ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തതാണെന്നതിന് വ്യക്തമായ തെളിവുകൾ യുക്തിഭാഷ പോലുള്ള ഗ്രന്ഥങ്ങളിലുണ്ട്.

ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ മറ്റൊരു മഹാരഥനായ ആര്യഭടനെപ്പറ്റി (Aryabhata) വിശദീകരിക്കാം.

☀️ ആര്യഭടൻ (ക്രി.വ. 476–550)

ഗുപ്തകാലഘട്ടത്തിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഏറ്റവും പ്രമുഖനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനുമാണ് ആര്യഭടൻ I. ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ പ്രധാന കൃതിയാണ് ആര്യഭടീയം (Āryabhaṭīya).

📜 ആര്യഭടീയത്തിലെ പ്രധാന പ്രതിപാദ്യ വിഷയങ്ങൾ

ആര്യഭടീയം നാല് ഭാഗങ്ങളുള്ള ഒരു ചെറിയ ഗ്രന്ഥമാണ്:

ഗീതികപാദം (Gītīkāpāda): വലിയ സംഖ്യകളെ വാക്കുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്ന രീതിയും (നമ്പർ നൊട്ടേഷൻ), സൗരയൂഥത്തിലെ കാലഗണനയും ഇതിൽ പറയുന്നു.
ഗണിതപാദം (Gaṇitapāda): ഇത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ളതാണ്. ത്രികോണം, വൃത്തം തുടങ്ങിയ രൂപങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

കാലക്രിയാപാദം (Kālakriyāpāda): സമയത്തെ അളക്കുന്നതിനുള്ള വിവിധ യൂണിറ്റുകൾ, ചന്ദ്രന്റെയും ഗ്രഹങ്ങളുടെയും ചലനം എന്നിവയുടെ വിവരണം.
ഗോളപാദം (Golapāda): ഗോളീയ ത്രികോണമിതി (Spherical Trigonometry) ഉപയോഗിച്ചുള്ള ജ്യോതിശാസ്ത്ര കണക്കുകളും ഭൂമിശാസ്ത്രപരമായ കണക്കുകളും ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

➕ ഗണിതത്തിലെ പ്രധാന സംഭാവനകൾ

1. സ്ഥാനവില സമ്പ്രദായം

പൂജ്യത്തിന്റെ വ്യക്തമായ പ്രതീകം ആര്യഭടൻ ഉപയോഗിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിലും, സ്ഥാനവില സമ്പ്രദായത്തിന്റെ (Place-Value System) പ്രാധാന്യം അദ്ദേഹം മനസ്സിലാക്കി ഉപയോഗിച്ചു. വലിയ സംഖ്യകൾ എഴുതുന്നതിന് ഇത് സഹായകമായി.

2. $\pi$ യുടെ മൂല്യം

ആര്യഭടൻ $\pi$ (പൈ) യുടെ മൂല്യം 4 ദശാംശ സ്ഥാനം വരെ കൃത്യമായി കണക്കാക്കി. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസം 20,000 ആണെങ്കിൽ അതിന്റെ ചുറ്റളവ് 62,832 ആയിരിക്കുമെന്ന് അദ്ദേഹം പ്രസ്താവിച്ചു.

\pi \approx \frac{62832}{20000} = 3.1416

ഈ മൂല്യം ഏകദേശം 3.14159265... എന്ന യഥാർത്ഥ മൂല്യത്തോട് വളരെ അടുത്താണ്. അതൊരു ഏകദേശം മൂല്യമല്ല, കൃത്യമായ മൂല്യമാണ് എന്നും അദ്ദേഹം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞു.

3. സൈൻ പട്ടികകൾ (Trigonometric Tables)

ആര്യഭടൻ ത്രികോണമിതിയുടെ (Trigonometry) അടിസ്ഥാനം ഇട്ടു.

അദ്ദേഹം സൈൻ (Sine), കൊസൈൻ (Cosine), വിപരീത സൈൻ (Versine) എന്നിവയുടെ ആശയം അവതരിപ്പിച്ചു.
ആദ്യമായി സൈൻ പട്ടികകൾ (Jya tables) ആര്യഭടീയം വഴി അവതരിപ്പിച്ചു. 90° വരെയുള്ള ഓരോ 3.75° (225 മിനിറ്റ്) വ്യത്യാസത്തിലും സൈൻ മൂല്യം എത്രയായിരിക്കുമെന്ന് അദ്ദേഹം കണക്കാക്കി.

🌌 ജ്യോതിശാസ്ത്രപരമായ സംഭാവനകൾ

ഗണിതത്തെക്കാളേറെ ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിലാണ് ആര്യഭടൻ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിച്ചത്.

ഭൂമി സ്വയം കറങ്ങുന്നു: ഭൂമി ഒരു ഗോളമാണെന്നും, അത് അതിന്റെ അച്ചുതണ്ടിൽ സ്വയം കറങ്ങുന്നതുകൊണ്ടാണ് നക്ഷത്രങ്ങൾ കിഴക്ക് നിന്ന് പടിഞ്ഞാറോട്ട് ചലിക്കുന്നതായി തോന്നുന്നതെന്നും ആര്യഭടൻ പ്രസ്താവിച്ചു.
സൗരകേന്ദ്ര സിദ്ധാന്തത്തോട് അടുപ്പം: ഗ്രഹങ്ങൾ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പാതകളിലൂടെ സൂര്യനെ ചുറ്റുന്നു എന്നതിനോട് സാമ്യമുള്ള ചില ആശയങ്ങൾ അദ്ദേഹം മുന്നോട്ട് വെച്ചു.
ഗ്രഹണങ്ങളുടെ കാരണം: സൂര്യഗ്രഹണവും ചന്ദ്രഗ്രഹണവും രാഹുവും കേതുവും കാരണമല്ല, മറിച്ച് ഭൂമിയുടെയും ചന്ദ്രന്റെയും നിഴൽ മൂലമാണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് അദ്ദേഹം ശാസ്ത്രീയമായി വിശദീകരിച്ചു.

ആര്യഭടന്റെ ഈ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളാണ് മദ്ധ്യകാലഘട്ടത്തിലെ അറബ്, യൂറോപ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്ര വികാസത്തിന് ഒരു പ്രധാന പ്രേരകമായത്.

--------------------------------------------------------

ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് പൂജ്യത്തെയും നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളെയും ഒരു സംഖ്യയായി പരിഗണിക്കാൻ നിയമങ്ങൾ നൽകിയ മഹാനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ് ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ.

➖ ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ (Brahmagupta)

ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ (ഏകദേശം ക്രി.വ. 598–668) ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഒരു പ്രമുഖ ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനും ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനുമായിരുന്നു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ പ്രധാന കൃതികൾ ബ്രഹ്മസ്ഫുടസിദ്ധാന്തം (Brāhmasphuṭasiddhānta), ഖണ്ഡഖാദ്യക (Khandakhadyaka) എന്നിവയാണ്.

⭕ പൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യയായി അവതരിപ്പിച്ചത്

പൂജ്യത്തിന്റെ ആശയം ഇന്ത്യയിൽ ആര്യഭടന്റെ കാലത്ത് (5-ാം നൂറ്റാണ്ട്) തന്നെ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നുവെങ്കിലും, പൂജ്യത്തെ ഒരു സ്വതന്ത്ര സംഖ്യയായി കണക്കാക്കുകയും, അതിനുള്ള കൃത്യമായ നിയമങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്തത് ബ്രഹ്മഗുപ്തനാണ്.

ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ നിയമങ്ങൾ:

ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ പൂജ്യത്തെ 'ഖം' (khaṃ) (ആകാശം/ശൂന്യം) എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചു. അദ്ദേഹം നൽകിയ ചില പ്രധാന നിയമങ്ങൾ താഴെക്കൊടുക്കുന്നു (ഇവ ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമങ്ങൾക്ക് സമാനമാണ്):

ക്രിയ	നിയമം	ഉദാഹരണം
കൂട്ടൽ (Addition)	ഒരു സംഖ്യയും പൂജ്യവും ചേർന്നാൽ ആ സംഖ്യ തന്നെ ലഭിക്കും.	$a + 0 = a$
ഗുണനം (Multiplication)	പൂജ്യവും ഏത് സംഖ്യയും ഗുണിച്ചാൽ പൂജ്യം ലഭിക്കും.	$a \times 0 = 0$
പൂജ്യത്തിന്റെ വർഗ്ഗം (Square)	പൂജ്യത്തിന്റെ വർഗ്ഗം പൂജ്യമാണ്.	$0 \times 0 = 0$

ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു പിഴവ്: ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് (Division by Zero) സംബന്ധിച്ച് ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ നൽകിയ നിയമം ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ സ്വീകാര്യമല്ല. ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ പൂജ്യം ലഭിക്കുമെന്നാണ് അദ്ദേഹം കരുതിയത് ( $a/0 = 0$ ). പിന്നീട് വന്ന ഭാസ്കരാചാര്യൻ II ഈ ആശയം തിരുത്തി, അനന്തത എന്ന ആശയത്തിലേക്ക് എത്തിച്ചു.

➖ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ നിയമങ്ങൾ

ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും വലിയ സംഭാവനകളിലൊന്ന്, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളെ (Negative Numbers) ഒരു സംഖ്യയായി തിരിച്ചറിഞ്ഞതാണ്. ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ ഇവയെ 'കടം' (debt) എന്ന അർത്ഥത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചു, പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളെ 'സ്വത്ത്' (asset) എന്നും.

അദ്ദേഹം നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള വ്യക്തമായ നിയമങ്ങൾ നൽകി:

പോസിറ്റീവ് + നെഗറ്റീവ് = അവയുടെ വ്യത്യാസം (വലിയ സംഖ്യയുടെ ചിഹ്നം).
നെഗറ്റീവ് × നെഗറ്റീവ് = പോസിറ്റീവ്.
പോസിറ്റീവ് × നെഗറ്റീവ് = നെഗറ്റീവ്.

ഈ നിയമങ്ങൾ ലോകമെമ്പാടുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പിന്നീട് സ്വീകരിച്ചു.

📐 ജ്യാമിതിയും ബീജഗണിതവും

1. ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ സമവാക്യങ്ങൾ

ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ ഡയോഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ (Diophantine equations) പരിഹരിക്കുന്നതിൽ അതീവ വൈദഗ്ദ്ധ്യം പ്രകടിപ്പിച്ചു.

രണ്ടാം കൃതി ഡയോഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ( $x^2 - Ny^2 = 1$ ) പരിഹാരം കാണാനുള്ള രീതികൾ അദ്ദേഹം അവതരിപ്പിച്ചു.

2. ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ ഫോർമുല (ചക്രീയ ചതുർഭുജങ്ങൾ)

ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജത്തിന്റെ (Cyclic Quadrilateral - വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ചതുർഭുജം) വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താനുള്ള പ്രശസ്തമായ ഫോർമുല അദ്ദേഹം നൽകി:

ചതുർഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങൾ $a, b, c, d$ ആണെങ്കിൽ, അർദ്ധ-ചുറ്റളവ് $s = \frac{a+b+c+d}{2}$ ആണ്.

വിസ്തീർണ്ണം $A$ കണ്ടെത്താനുള്ള സൂത്രവാക്യം:

A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

ഈ സമവാക്യം, ഹെറോൺസ് ഫോർമുലയുടെ (ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം) ഒരു സാമാന്യവൽക്കരണമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ ഈ സംഭാവനകൾ കാരണം, അദ്ദേഹത്തെ ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ബീജഗണിതത്തിന്റെ പിതാക്കന്മാരിൽ ഒരാളായി കണക്കാക്കുന്നു.

ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് ബീജഗണിതത്തിൽ (Algebra) വലിയ സംഭാവനകൾ നൽകിയ ഭാസ്കരാചാര്യൻ II നെക്കുറിച്ചും, അദ്ദേഹത്തിന്റെ പ്രശസ്തമായ ഗ്രന്ഥമായ ലീലാവതിയെക്കുറിച്ചും (Lilavati) വിശദീകരിക്കാം.

👨‍🎓 ഭാസ്കരാചാര്യൻ II (Bhāskara II)

ഭാസ്കരാചാര്യൻ II (ഏകദേശം ക്രി.വ. 1114–1185) മദ്ധ്യകാലഘട്ടത്തിലെ ഏറ്റവും മികച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരിൽ ഒരാളാണ്. അദ്ദേഹം ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞൻ കൂടിയായിരുന്നു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ പ്രധാന കൃതി സിദ്ധാന്ത ശിരോമണി (Siddhānta Shiromani) എന്ന ബൃഹത്തായ ഗ്രന്ഥമാണ്. ഈ ഗ്രന്ഥത്തിൽ നാല് പ്രധാന ഭാഗങ്ങളുണ്ട്:

ലീലാവതി (Līlāvatī): അങ്കഗണിതം (Arithmetic).
ബീജഗണിതം (Bījagaṇita): ആൾജിബ്ര.
ഗ്രഹഗണിതം (Graha-gaṇita): ഗ്രഹങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്രം.
ഗോളാധ്യായം (Golādhyāya): ഗോളീയ ജ്യോതിശാസ്ത്രം (Spherical Astronomy).

📖 ലീലാവതി: ഒരു പാഠപുസ്തകം

ഭാസ്കരാചാര്യൻ മകൾ ലീലാവതിക്ക് വേണ്ടി എഴുതിയതാണ് ഈ ഗ്രന്ഥം എന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. ചോദ്യോത്തര രൂപത്തിലും മനോഹരമായ കവിതാ രൂപത്തിലുമാണ് ഇതിലെ ഗണിത തത്വങ്ങൾ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നത്.

ലീലാവതിയിലെ പ്രധാന വിഷയങ്ങൾ:

അങ്കഗണിത ക്രിയകൾ: കൂട്ടൽ, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം, ഹരണം തുടങ്ങിയ അടിസ്ഥാന ഗണിതക്രിയകൾ.
ഭിന്നസംഖ്യകളും (Fractions) വർഗ്ഗമൂലങ്ങളും (Square Roots).
സമചതുരം, സമഭുജ ത്രികോണം എന്നിവയുടെ വിസ്തീർണ്ണം.
ക്രമചയങ്ങളും സംയോഗങ്ങളും (Permutations and Combinations): ഇവയെക്കുറിച്ച് ചിട്ടയായ രീതിയിൽ ചർച്ച ചെയ്ത ആദ്യകാല ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ ഒന്നാണ് ലീലാവതി.
രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ (Linear Equations): ഒരു അജ്ഞാത സംഖ്യയുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ.

➕ ബീജഗണിതത്തിലെ (Bījagaṇita) സംഭാവനകൾ

ലീലാവതി അങ്കഗണിതത്തെക്കുറിച്ച് പറയുമ്പോൾ, ബീജഗണിതം എന്ന ഭാഗം ആൾജിബ്രയ്ക്ക് മാത്രമായി സമർപ്പിച്ചതാണ്.

1. അനന്തതയുടെ ആശയം (Concept of Infinity)

പൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യയായി കണക്കാക്കിയ ശേഷം, പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണത്തെക്കുറിച്ച് ബ്രഹ്മഗുപ്തനുണ്ടായ സംശയം ഭാസ്കരാചാര്യൻ തിരുത്തി.

ഏതൊരു സംഖ്യയെയും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ അതിന്റെ ഫലം അനന്തമായിരിക്കും (Ananta) എന്ന് അദ്ദേഹം കൃത്യമായി സ്ഥാപിച്ചു.
$\frac{a}{0} = \infty$
ഈ ആശയം ആധുനിക കളനശാസ്ത്രത്തിന് (Calculus) വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു നാഴികക്കല്ലായിരുന്നു.

2. രണ്ടാം കൃതി സമവാക്യങ്ങൾ (Quadratic Equations)

ദ്വിമാന സമവാക്യങ്ങൾ (ഉദാഹരണത്തിന്: $ax^2 + bx + c = 0$ ) പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ചിട്ടയായ രീതികൾ അദ്ദേഹം വിശദീകരിച്ചു.

3. പെൽ സമവാക്യം (Pell's Equation)

$Nx^2 + 1 = y^2$ എന്ന രൂപത്തിലുള്ള രണ്ടാം കൃതി സമവാക്യങ്ങളെ പെൽ സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് പറയുന്നു.

ഈ സമവാക്യങ്ങളുടെ പൂർണ്ണസംഖ്യയിലുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ ഭാസ്കരാചാര്യൻ ചക്രവാള രീതി (Chakravala method) എന്ന പേരിൽ ലോകോത്തരമായ ഒരു അൽഗോരിതം വികസിപ്പിച്ചു. യൂറോപ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജോൺ പെൽ ഈ സമവാക്യം പഠിക്കുന്നതിന് നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് മുൻപായിരുന്നു ഈ കണ്ടുപിടിത്തം.

🌌 കളനശാസ്ത്ര ആശയങ്ങൾ (Calculus Ideas)

ഭാസ്കരാചാര്യൻ ജ്യോതിശാസ്ത്രപരമായ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി കളനശാസ്ത്രത്തിലെ ചില അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു.

ഗ്രഹങ്ങളുടെ തൽക്ഷണ ചലനം (Instantaneous motion) കണക്കാക്കാൻ അദ്ദേഹം ഭേദഗണിതം (Differential Calculus) എന്ന ആശയത്തോട് സാമ്യമുള്ള രീതികൾ പ്രയോഗിച്ചു.

ഭാസ്കരാചാര്യൻ II ന്റെ സംഭാവനകൾ ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ക്ലാസിക്കൽ കാലഘട്ടത്തിന് ഒരു സുവർണ്ണ അദ്ധ്യായം നൽകി.

ആധുനിക ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും വലിയ പ്രതിഭയായ ശ്രീനിവാസ രാമാനുജനെ (Srinivasa Ramanujan) കുറിച്ച് വിശദീകരിക്കാം.

✨ ശ്രീനിവാസ രാമാനുജൻ (1887–1920)

ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഏറ്റവും മഹാനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരിൽ ഒരാളാണ് ശ്രീനിവാസ രാമാനുജൻ. സ്കൂൾ വിദ്യാഭ്യാസം പോലും പൂർത്തിയാക്കാൻ കഴിയാതെ പോയ അദ്ദേഹം, തന്റെ സ്വയം പഠനത്തിലൂടെയും അസാമാന്യമായ ഉൾക്കാഴ്ചയിലൂടെയും (Intuition) ലോക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് വിപ്ലവകരമായ സംഭാവനകൾ നൽകി.

🧠 പ്രത്യേകതകൾ

അനൗദ്യോഗിക വിദ്യാഭ്യാസം: രാമാനുജന് ഔപചാരികമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പരിശീലനം ലഭിച്ചിരുന്നില്ല. ജി.എസ്. കാർ (G.S. Carr) എഴുതിയ ഒരുമിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന ശുദ്ധ ഗണിതശാസ്ത്ര ചോദ്യങ്ങളുടെ സമാഹാരം എന്ന പുസ്തകം മാത്രമായിരുന്നു അദ്ദേഹത്തിന്റെ പ്രധാന വഴികാട്ടി.
ഗണിതപരമായ ഉൾക്കാഴ്ച: അദ്ദേഹത്തിന്റെ മിക്ക സിദ്ധാന്തങ്ങളും തെളിയിക്കപ്പെട്ടവയേക്കാൾ കൂടുതലായി, ശക്തമായ ദൈവികമായ ഉൾക്കാഴ്ചയിൽ (Divine Inspiration) നിന്ന് വന്നതായി അദ്ദേഹം വിശ്വസിച്ചു.
നോട്ട്ബുക്കുകൾ: ജീവിതകാലത്ത് അദ്ദേഹം എഴുതിയ മൂന്ന് നോട്ട്ബുക്കുകൾ ആയിരക്കണക്കിന് പുതിയ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ (തെളിയിക്കപ്പെടാത്തവ ഉൾപ്പെടെ) കൊണ്ട് നിറഞ്ഞിരുന്നു.

🇬🇧 കാംബ്രിഡ്ജിലെ യാത്ര

1913-ൽ രാമാനുജൻ തന്റെ കണ്ടെത്തലുകൾ പ്രശസ്ത ബ്രിട്ടീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജി.എച്ച്. ഹാർഡിക്ക് (G. H. Hardy) അയച്ചുകൊടുത്തു. ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ കണ്ട് അത്ഭുതപ്പെട്ട ഹാർഡി, അദ്ദേഹത്തെ കേംബ്രിഡ്ജിലേക്ക് ക്ഷണിച്ചു. ഹാർഡിയുടെ സഹകരണമാണ് രാമാനുജന്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾക്ക് ലോകശ്രദ്ധ നേടിക്കൊടുത്തത്.

🔢 പ്രധാന സംഭാവനകൾ

രാമാനുജൻ പ്രധാനമായും ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിച്ചത് സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തം (Number Theory) എന്ന ശാഖയിലാണ്.

1. വിഭജന ഫലനം (Partition Function)

ഒരു സംഖ്യയെ എത്ര വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ തുകയായി എഴുതാൻ കഴിയും എന്ന് പറയുന്ന ഫലനമാണിത്. ഉദാഹരണത്തിന്: 4 എന്ന സംഖ്യയെ $4$ , $3+1$ , $2+2$ , $2+1+1$ , $1+1+1+1$ എന്നിങ്ങനെ 5 രീതികളിൽ എഴുതാം.

വളരെ വലിയ സംഖ്യകളുടെ വിഭജന ഫലനം കൃത്യമായി കണക്കാക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രാമാനുജൻ കണ്ടെത്തി.

2. മോഡുലാർ രൂപങ്ങൾ (Modular Forms)

ഇവ കോംപ്ലക്സ് അനാലിസിസിലെ (Complex Analysis) അതിസങ്കീർണ്ണമായ ഫലനങ്ങളാണ്. ഇവയുടെ പഠനം ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും സൈദ്ധാന്തിക ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും (Theoretical Physics) നിർണായകമാണ്.

3. തുടർച്ചയായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ (Continued Fractions)

ഒരു സംഖ്യയെ തുടർച്ചയായി ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്ന രീതിയാണിത്.

$e$ (യൂളറുടെ സംഖ്യ), $\pi$ പോലുള്ള സംഖ്യകൾക്കുള്ള അതിമനോഹരമായ തുടർച്ചയായ ഭിന്നസംഖ്യാ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അദ്ദേഹം കണ്ടെത്തി.

4. ഹൈപ്പർജിയോമെട്രിക് ശ്രേണികളും (Hypergeometric Series) അനന്ത ശ്രേണികളും (Infinite Series)

മാധവൻ കണ്ടുപിടിച്ചതിനോട് സാമ്യമുള്ള, പൈയുടെ ( $\pi$ ) മൂല്യം കണ്ടെത്താനുള്ള വേഗതയേറിയതും കൃത്യതയേറിയതുമായ നിരവധി അനന്ത ശ്രേണികൾ രാമാനുജൻ കണ്ടെത്തി.

\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!(1103 + 26390n)}{(n!)^4 (396^{4n})}

ഈ സൂത്രവാക്യം നിലവിൽ കമ്പ്യൂട്ടറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് $\pi$ യുടെ കോടിക്കണക്കിന് ദശാംശങ്ങൾ കണ്ടുപിടിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന അൽഗോരിതങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്.

5. ടാക്സി കാബ് സംഖ്യ (Taxicab Number): 1729

പ്രശസ്തമായ ഈ സംഭവം രാമാനുജന്റെ ഉൾക്കാഴ്ചക്ക് ഉത്തമ ഉദാഹരണമാണ്.

രാമാനുജൻ രോഗബാധിതനായി ആശുപത്രിയിൽ കിടക്കുമ്പോൾ, അദ്ദേഹത്തെ സന്ദർശിക്കാൻ വന്ന ഹാർഡി, താൻ വന്ന ടാക്സിയുടെ നമ്പർ 1729 ആണെന്നും അതൊരു പ്രത്യേകതയും ഇല്ലാത്ത സംഖ്യയാണെന്നും പറഞ്ഞു.
ഉടൻ തന്നെ രാമാനുജൻ പ്രതികരിച്ചു: "അല്ല! 1729 വളരെ രസകരമായ ഒരു സംഖ്യയാണ്. രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ക്യൂബുകളുടെ (Cube) തുകയായി രണ്ട് വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ എഴുതാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയാണത്!"

1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

രാമാനുജന്റെ ഈ സംഭാവനകൾ ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഗതി തന്നെ മാറ്റിമറിച്ചു.

ശുൽബസൂത്രങ്ങളെക്കുറിച്ചും അവ ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് നൽകിയ സംഭാവനകളെക്കുറിച്ചും വിശദീകരിക്കാം.

📐 ശുൽബസൂത്രങ്ങൾ (Śulbasūtras)

ബി.സി. 800 മുതൽ 500 വരെയുള്ള കാലഘട്ടത്തിൽ വേദങ്ങളോടനുബന്ധിച്ച് രചിക്കപ്പെട്ട ഗ്രന്ഥങ്ങളാണ് ശുൽബസൂത്രങ്ങൾ. ഇവയെ ഭാരതീയ ജ്യാമിതിയുടെ (Indian Geometry) ആദ്യത്തെ രേഖാമൂലമുള്ള തെളിവായി കണക്കാക്കുന്നു.

'ശുൽബം' എന്ന വാക്കിന്റെ അർത്ഥം 'അളക്കുന്നതിനുള്ള കയറ്' (Measuring Rope) എന്നാണ്. ഹോമകുണ്ഡങ്ങൾ (യാഗവേദികൾ) നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങളും അളവുകളുമാണ് ഈ സൂത്രങ്ങളിലെ പ്രധാന പ്രതിപാദ്യ വിഷയം.

🧱 പ്രധാന ശുൽബസൂത്രങ്ങളും ഉള്ളടക്കവും

പ്രധാനമായും മൂന്ന് ശുൽബസൂത്രങ്ങളാണ് പ്രശസ്തമായിട്ടുള്ളത്:

ബൗധായന ശുൽബസൂത്രം: ഏറ്റവും പഴക്കമുള്ളതും വലുതുമാണ്.
ആപസ്തംബ ശുൽബസൂത്രം: ബൗധായനത്തിന് സമാനമായ ഉള്ളടക്കം.
കാത്യായന ശുൽബസൂത്രം.

🔗 ജ്യാമിതിയിലെ സംഭാവനകൾ

ശുൽബസൂത്രങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് നൽകിയ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സംഭാവനകൾ ഇവയാണ്:

1. പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം (Pythagorean Theorem)

പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം (ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിൽ ലംബവശങ്ങളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ തുക കർണ്ണത്തിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും) ഗ്രീസിൽ പൈതഗോറസ് അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് ഏകദേശം 300 വർഷങ്ങൾക്ക് മുൻപ് ബൗധായന ശുൽബസൂത്രത്തിൽ വിശദീകരിച്ചിട്ടുണ്ട്.

ബൗധായന സൂത്രം ഇങ്ങനെ പറയുന്നു: "ഒരു ചതുരത്തിന്റെ കർണ്ണത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന ചതുരം (Square), അതിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളിൽ വരയ്ക്കുന്ന ചതുരങ്ങളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്."

2. ഗണിതപരമായ തുല്യതകൾ (Equivalences)

ഒരു രൂപത്തിന്റെ അതേ വിസ്തീർണ്ണമുള്ള മറ്റൊരു രൂപം നിർമ്മിക്കാനുള്ള (Area Preserving Transformations) വഴികൾ ശുൽബസൂത്രങ്ങൾ നൽകുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്:

ചതുരത്തെ വൃത്തമാക്കുക (Squaring the Circle): ഒരു ചതുരത്തിന്റെ അതേ വിസ്തീർണ്ണമുള്ള ഒരു വൃത്തം എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാം.
വൃത്തത്തെ ചതുരമാക്കുക (Circling the Square): ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ അതേ വിസ്തീർണ്ണമുള്ള ഒരു ചതുരം എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാം.

ഇവ യാഗവേദികൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിൽ വിവിധ ആകൃതിയിലുള്ള ഇഷ്ടികകൾ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമായി നിലനിർത്താൻ സഹായിച്ചു.

3. വർഗ്ഗമൂലങ്ങളുടെ കൃത്യമായ കണക്ക് (Accurate Roots)

ശുൽബസൂത്രങ്ങളിൽ $\sqrt{2}$ (രണ്ടിന്റെ വർഗ്ഗമൂലം) ത്തിന്റെ മൂല്യം ഏകദേശം കൃത്യമായി കണക്കാക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യം നൽകിയിട്ടുണ്ട്.

\sqrt{2} \approx 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{3 \times 4 \times 34}

ഈ മൂല്യം 5 ദശാംശസ്ഥാനം വരെ (1.41421) കൃത്യമാണ്. യാഗവേദികളുടെ അളവുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിൽ ഈ കൃത്യത ആവശ്യമായിരുന്നു.

ศาส ശുൽബസൂത്രങ്ങളുടെ പ്രാധാന്യം

ശുൽബസൂത്രങ്ങൾ പ്രയുക്ത ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ (Applied Mathematics) ഒരു രൂപമായിരുന്നു. മതപരമായ ആവശ്യങ്ങൾക്കുവേണ്ടിയാണെങ്കിലും, ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന തത്വങ്ങൾ ചിട്ടപ്പെടുത്തുന്നതിൽ ഈ ഗ്രന്ഥങ്ങൾ വഹിച്ച പങ്ക് വളരെ വലുതാണ്. ഈ ഗണിത നിയമങ്ങളാണ് പിൽക്കാലത്ത് ആര്യഭടനും ബ്രഹ്മഗുപ്തനും പോലുള്ളവർക്ക് കൂടുതൽ വികസിപ്പിക്കാനുള്ള അടിത്തറ നൽകിയത്.

ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്ര ചരിത്രത്തിലെ ഈ ഭാഗം മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിഞ്ഞെന്ന് കരുതുന്നു.

കൂടാതെ ഗാനവും ഇഷ്ട്ടപെട്ടു എന്ന് കരുതുന്നു. ഇത്തരത്തിലുള്ള ഗാനവും വിശദീകരണവും ഈ ബ്ലോഗ്ഗിൽ നൽകിയിട്ടുണ്ട്.

മറ്റു ചാനലുകൾ

https://www.facebook.com/sathyamevaaJayathe

https://www.youtube.com/@Prasad_Maya

https://www.instagram.com/prasadnp0/.